תרגיל 86: טיל — גליל עם קונוס בראש

נוסחאות בתרגיל: מעטפת גליל = 2π × r × hמעטפת קונוס = π × r × ℓבסיס עיגול = π × r²ℓ² = r² + h²

השאלה

טיל בצעצוע מורכב מגוף גלילי באורך 10 ס”מ ורדיוס 4 ס”מ, ומחוד בצורת קונוס שגובהו 3 ס”מ ורדיוס בסיסו זהה לרדיוס הגליל. בסיס הגליל סגור (תחתית הטיל), והקונוס יושב בדיוק על הצד העליון של הגליל.

טיל — גליל עם חוד קוניטיל: גליל בגובה 10 ס”מ ורדיוס 4 ס”מ עם קונוס בגובה 3 ס”מ על הראש. הבסיס התחתון סגור.h = 10r = 4h_קונוס = 3

מה מתבקשים: חשבו את שטח הפנים החיצוני של הטיל.

הפתרון

שלב 1 — פירוק הצורה: הטיל מורכב מ:

  • מעטפת הגליל
  • בסיס תחתון של הגליל (תחתית הטיל סגורה)
  • מעטפת הקונוס לא סופרים את המעגל העליון של הגליל — הוא מכוסה על-ידי הקונוס.

שלב 2 — חישוב מפרש הקונוס (פיתגורס): ℓ² = r² + h_קונוס² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 ℓ = √25 = 5

שלב 3 — מעטפת הגליל: S₁ = 2π × r × h = 2π × 4 × 10 = 80π

שלב 4 — בסיס תחתון: S₂ = π × r² = π × 16 = 16π

שלב 5 — מעטפת הקונוס: S₃ = π × r × ℓ = π × 4 × 5 = 20π

שלב 6 — חיבור: S = 80π + 16π + 20π = 116π

תשובה סופית: שטח הפנים החיצוני של הטיל הוא 116π ס”מ²

טיפ מבחן 💡

“גליל וקונוס מחוברים” — תמיד שאלו: כמה מעגלים גלויים מבחוץ? כאן רק 1 (התחתון), כי המעגל העליון של הגליל נסגר על-ידי בסיס הקונוס. אם הייתם סופרים את שניהם, הייתם מוסיפים 9π × 2 = 32π לתשובה — טעות גדולה.